Blickpunkt Schule 4 2025

Rund, praktisch, gut? Eine Extremwertaufgabe zwischen Konsum und Nachhaltigkeit V erpackungen gehören zu unserem Alltag – sei es als Konservendose auf hoher See, als Getränkedose unterwegs oder als Umverpackung im Supermarkt 1. Der Weg ist das Ziel Niveau: erhöhtes Niveau, Fokus auf Strukturverständnis und Rückwärtsarbeiten. Gegeben ist lediglich die Ableitung A’(r) = 4πr - 660 r 2

22 Best Practice SCHULE 4|2025

regal. Besonders Getränkedosen, oft aus reiner Bequem lichkeit genutzt, stehen im Spannungsfeld zwischen Kon sumverhalten und Umweltverantwortung. Wenn sie also schon verwendet werden, sollte ihr Materialverbrauch so gering wie möglich sein. Während wir in vielen Fällen nicht auf sie verzichten können, stellt sich zunehmend die Frage: »Wie können wir Ressourcen sparen und dennoch funktio nale Verpackungen erhalten?« – und genau hier setzt die vorgestellte Unterrichtsidee an. Im Mathematikunterricht – konkret im Themengebiet Extremwertaufgaben – begegnen Schülerinnen und Schü ler regelmäßig der Suche nach optimalen Größenverhält nissen. Die Aufgabe, bei gegebenem Volumen eine Form mit minimaler Oberfläche zu finden, ist ein klassischer An wendungsfall und wird oft als anschauliches, wenn auch trocken durchgerechnetes Beispiel aufgegriffen. Was aber, wenn man sie nicht nur algebraisch, sondern auch enaktiv und ikonisch erfahrbar macht? Weitere Möglichkeiten zum Aufgreifen im Unterricht Klasse 7: Frage »Was passiert, wenn Höhe oder Radius verändert wird?« → Abhängigkeitsdenken schulen Klasse 8: Zylinder als Modell für Getränkedosen → funktionales Modellieren vorbereiten Praktisch: Basteln von Zylindernetzen oder Mitbringen von Modellen (330 cm³, verschiedene Maße) → enaktiver Zugang In der Analysephase entnehmen die Lernenden den Dosen modellen Radius und Höhe, berechnen den jeweiligen Oberflächeninhalt und tragen die Daten entweder in eine Excel-Tabelle oder in ein Koordinatensystem (Oberfläche in Abhängigkeit von Radius oder Höhe) ein. Die grafische Darstellung der Werte ermöglicht es, erste Abschätzungen über das Minimum der Fläche zu treffen – ein Zugang, der auch unterhalb der Sekundarstufe II bereits mathematisch sinnvoll und motivierend ist. Nun folgt die Arbeit an gestuften Aufgaben: Je nach Leistungsniveau bearbeiten die Schülerinnen und Schüler unterschiedliche Zugänge – von der Ableitung der Ziel funktion über die Rekonstruktion von Haupt- und Neben bedingung, über die reflektierte Variablenwahl bis hin zum kommentierten Musterbeispiel. Klasse 5: Schätzen von krummlinig begrenzten Flächen → Größenverhältnisse erfahrbar machen

sowie der Hinweis auf einen zylindrischen Körper mit fes tem Volumen von 330 cm 3 . Ausgehend davon rekonstruie ren die Schülerinnen und Schüler den Weg zur Zielfunktion und weiter zu den geometrischen Ausgangsformeln. Dabei wird der Modellierungsprozess von der Geometrie über die Nebenbedingung bis hin zur Ableitung nachvollzogen – eine Übung, die zugleich eine implizite Einführung in das Konzept der Stammfunktionen darstellt. 2. Die Qual der Wahl – welche Variable darf gehen? Niveau: mittleres bis gehobenes Niveau, metakognitiver Fokus. Gegeben sind zwei Umformungen der Nebenbedingung – einmal nach der Höhe h und einmal nach dem Radius r aufgelöst. Die Schülerinnen und Schüler zeigen, dass beide Varianten zu unterschiedlichen Zielfunktionen führen, und begründen, welche sie bevorzugen. Im Mittelpunkt stehen der Vergleich von Umformungsstrategien, die Reflexion über die Wahl der zu eliminierenden Variable sowie Über legungen zur Rechenökonomie. 3. Versteh das Beispiel – kommentieren und ergänzen Niveau: unterstützendes Niveau, ideal zur Differenzierung. Die Schülerinnen und Schüler erhalten einen vorgefertig ten Lösungsweg zur Zielfunktion mit erklärenden Kom mentaren. Einzelne Zwischenschritte enthalten Lücken, die zu ergänzen sind (‘Hier wurde … eingesetzt’). Die Auf gabe besteht darin, den Weg sowohl rechnerisch als auch sprachlich nachzuvollziehen und zu kommentieren. So wird strukturiertes Mitdenken geübt und das Prinzip des Vor wärts- und Rückwärtsarbeitens anschaulich trainiert. Gemeinsamer Austausch – was die Schülerinnen und Schüler aus den drei Aufgaben mitbringen Nach der Arbeit an den drei differenzierten Zugängen ver fügt jede Gruppe über spezifische Denkanstöße, die das Plenum bereichern: